Арифметичною прогресією називають послідовність чисел (членів прогресії)

в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталий доданок, який ще називають кроком або різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії

Обернене твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії рівне члену, який стоїть між ними то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також за властивістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

В цьому легко переконатися, якщо розписати доданки справа від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах.

2) Суму n перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою

Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях та досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена то в нагоді Вам стане наступна формула суми

4) Практичний інтерес має відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для суми використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал добігає кінця і переходимо до розв'язування поширених на практиці задач на прогресію.

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7; ..Розв'язання: Згідно умови маємо

Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо

На цьому обчислення закінчено.

Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом . Знайти перший член прогресії та суму десяти.

Розв'язання:Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо в любе із рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Всі шукані величини знайдені.

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником d=5 та одним з її членів . Знайти перший член прогресії , суму 50 її членів починаючи з 50 та суму 100 перших.