Логарифми (четвер)

Логарифми

Логари́фм або логари́тм(від грец. λόγος — «слово», і грец. ἀριθμός — «число») — число ${\displaystyle x}$ (показник степеня, степінь), яке показує, до якого степеня слід піднести число ${\displaystyle a}$ (основу), щоб одержати число ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle \log _{a}b=x.}$

Основна логарифміча тотожність: ${\displaystyle a^{x}=b}$ або ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$, де ${\displaystyle b>0}$, і ${\displaystyle a\neq 1}$.

Логарифми було введено Джоном Непером на початку XVII століття як засіб спрощення розрахунків. Їх швидко почали застосовувати науковці та інженери для пришвидшення виконання обчислень із застосуванням логарифмічних лінійок і таблиць логарифмів. Логарифм дозволяє прискорити множення багатозначних чисел шляхом складання їхніх логарифмів. Наприклад, візьмімо два числа, які потрібно помножити: ${\displaystyle 42,5}$ і ${\displaystyle 378}$. За допомогою таблиці логарифмів подивімося, що за основою ${\displaystyle 10}$ ці числа мають логарифми (степені) ${\displaystyle 1,6284}$ і ${\displaystyle 2,5775}$ відповідно. Тобто, ${\displaystyle 42,5=10^{1,6284}}$ i ${\displaystyle 378=10^{2,5775}}$. Таким чином, ${\displaystyle 42,5*378=10^{1,6284}*10^{2,5775}=10^{(1,6284+2,5775)}=10^{4,2059}}$. Виходить, що логарифмом добутку чисел ${\displaystyle 42,5}$ і ${\displaystyle 378}$, за основою ${\displaystyle 10}$, є число ${\displaystyle 4,2059}$. З таблиці логарифмів легко знайти результат ${\displaystyle \log _{10}{(42,5*378)}=4,2059}$.

Сучасне означення логарифмів введено Леонардом Ейлером, який у XVIII столітті пов'язав їх з показниковою функцією.

Позначення:

${\displaystyle x=\log _{a}b}$ (логарифм числа ${\displaystyle b}$ за основою ${\displaystyle a}$)

Існують особливі позначення для:

• натуральних логарифмів (логарифмів за основою e):

${\displaystyle \log _{e}a=\ln a}$

• десяткових логарифмів (логарифмів за основою 10):

${\displaystyle \log _{10}a=\lg a}$

• двійкових логарифмів (логарифмів за основою 2):

${\displaystyle \log _{2}a=\operatorname {lb} a}$

Формула	Приклад
Добуток	${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y\,}$	${\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5\,}$
Частка	${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y\,}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg 1-\lg 1000=0-3=-3}$
Степінь	${\displaystyle \log _{a}x^{p}=p\log _{a}x}$	${\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}2^{6}=6\log _{2}2=6\,}$
Корінь	${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}x}$	${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Ці властивості зробили логарифм надзвичайно корисною функцією. Додавання та віднімання набагато простіші операції ніж множення та ділення, й, маючи таблицю логарифмів, можна сильно спростити складні обчислення.

Формула:

${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}$

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція  ставить у відповідність кожному значенню змінної її логарифм за наперед обраною основою .
Властивості логарифмічної функції:
множина визначення логарифмічної 
функції ,
логарифмічна функція є монотонною, причомує зростаючою якщо 
є спадною якщо 
логарифмічні функції за різними основами є пропорційними,
функція  є оберненою до показникової функції ,
похідна логарифмічної функції:

первісна логарифмічної функції:

 (див. також таблицю інтегралів логарифмічних функцій)

похідна від логарифму функції називається логарифмічною похідною

спеціальна функція інтегральний логарифм:

розклад у ряд Тейлора

стала Ейлера—Маскероні

Натуральні логарифми
Зв'язок з десятковим логарифмом: .
Як зазначено вище, для похідної натурального логарифму справедлива проста формула:

З цієї причини у математичних дослідження дуже часто використовують саме натуральні логарифми. Вони часто з'являються при розв'язку диференціальних рівнянь, дослідженні статистичних закономірностей (наприклад, розподіл простих чисел) тощо.
Невизначений інтеграл від натурального логарифму легко знайти інтегруванням за частинами:

Розклад у ряд Тейлора може бути представлений наступним чином:
при  наступна рівність є справедливою

(1)

ЗокремаФормула (1) не має великої практичної цінності через те, що ряд дуже повільно сходиться і значення є обмеженим у доволі вузькому діапазоні. Однак, не складно отримати з неї зручнішу формулу:

Цей ряд сходиться швидше, а крім цього, ліва частина формули тепер може виразити логарифм будь-якого додатнього числа.

(2)



Логарифми за основою 2 широко застосовуються в теорії інформації. Двійковий логарифм натурального числа  дозволяє визначити число цифр  у внутрішньому комп'ютерному (бітовому) поданні цього числа:


 (дужки позначають цілу частину числа).
Інформаційна ентропія — міра кількості інформації, також заснована на двійкових логарифмах.
Оцінка асимптотичної складності рекурсивних алгоритмів, заснованих на принципі «розділяй та володарюй» — таких, як швидке сортування, швидке перетворення Фур'є, двійковий пошук виконується з використанням двійкових логарифмів.
У теорії музики, щоб вирішити питання про те, на скільки частин ділити октаву, потрібно відшукати раціональне наближення для